线性代数如何帮助我们描述微观世界？《张朝阳的物理课》求解矩阵对角化问题

什么是量子力学的矩阵力学形式？线性代数如何恰当地描述量子世界？数学上如何严格求解一个微观系统的能量本征值和本征态？6月2日12时，《张朝阳的物理课》第147期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先带大家复习了如何以矩阵力学方法处理自旋系统，然后引申出现代量子力学的数学基础——希尔伯特空间，介绍了以矢量描述系统状态、算符描述力学量这一基本概念。张朝阳指出，如果约定好一组基矢，可以将态矢和算符都表示成矩阵的形式，进而量子力学的计算都可以等价于矩阵运算。特别地，求解算符的本征问题等价于寻找一个恰当的转换矩阵，使得算符在新基矢下是一个对角矩阵。基于此，他以线性代数的方法，再一次严格求解了上一节课中受扰动的二能级系统能量本征值问题，得到了一致的结果。

在直播课上，简单回顾了Stein-Gerlach实验以及如何用矩阵力学方法处理自旋子系统的优越性和合理性之后，张朝阳为大家介绍了现代量子力学中最重要的数学概念——希尔伯特空间。在引入希尔伯特空间后，一个微观系统的任意状态都可以由空间中的一个矢量描述。而力学量则对应定义在空间上，将一个矢量转变到另一个矢量的厄密算符。给定希尔伯特空间，找到一组正交归一的基矢，使得所有态矢都能表达为它的线性组合。同时，我们总能在其上定义内积运算，以重新表达归一化和求力学平均值的计算，得到与概率诠释相一致的结果。

此后，张朝阳指出，如果事先已经约定好取某组基矢，或者用术语表达，选取好一个特定的表象。任意的态矢和算符都能被写为矩阵的形式，而量子力学中的计算则对应到线性代数中的矩阵运算。然而，在两组不同的基底或者说不同的表象下，态矢和算符的具体表达形式可以会不一样，它们将通过一个转换矩阵相互联系，相互转化。于是，求解给定算符的本征值和本征态等价于去寻找一个恰当的转换矩阵，使得算符在转换后的新表象下的矩阵表达是被对角化的。紧接着，张朝阳利用这个方法再次求解受扰动的二能级系统能量本征值问题，得到了与上一节课一致的结果。

截至目前，《张朝阳的物理课》已直播一百余期，内容大都从自然界的现象出发，引出基本物理概念，推导基本理论，研算现象后面的根本原因，达到本质的理解。课程中使用较多数学推导展示物理与数学的不可分割，也能帮助读者提升数学水平。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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